Στον κάδο του μίξερ προσθέτουμε το νερό, το γάλα (Προσοχή να μην καίνε!) τη ζάχαρη και τη μαγιά. Ανακατεύουμε μια φορά, σκεπάζουμε για 10' με πετσέτα και περιμένουμε να δημιουργηθούν μερικές φουσκάλες στο μείγμα που θα σημαίνει ότι η μαγιά μας ενεργοποιήθηκε.
Προσθέτουμε τα αυγά, το αλάτι, το μισό αλεύρι, το βούτυρο και ανακατεύουμε πολύ καλά στο μίξερ. Προσθέτουμε και το υπόλοιπο αλεύρι και ζυμώνουμε στο μίξερ για 5'-10' μέχρι να έχουμε μια τέλεια ζύμη.
Προσθέτουμε τις σταγόνες σοκολάτας και ανακατεύουμε ξανά με το μίξερ για 1'.
Λαδώνουμε ένα μπολ με λίγο ηλιέλαιο και μετάφέρουμε τη ζύμη στο λαδωμένο μπολ, καλύπτουμε με μεμβράνη τη ζύμη και την αφήνουμε περίπου 90' να διπλασιαστεί σε όγκο.
Φτιάχνουμε ένα ενιαίο brioche είτε μέσα σε τσέρκι 26 εκ, είτε στρογγυλό χωρίς τσέρκι ή 12 μικρά brioche σε σχήμα μπάλας χωρίς ή με τσέρκι 10 εκ. Τα τοποθετούμε πάνω σε λαδόκολλα. Αν χρησιμοποιήσουμε τσέρκι, βαζουμε και γύρω γύρω λαδόκολλα.
Σκεπάζουμε από πάνω με μια πετσέτα και αφήνουμε για 45-60' να φουσκώσουν ξανά.
Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 180℃.
Ετοιμάζουμε το μείγμα του αυγού. Σε ένα μικρό βαζάκι προσθέτουμε το αυγό και το ηλιέλαιο, κλείνουμε το καπάκι και κουνάμε καλά καλά το άλειμμα. (Είναι ο καλύτερος τρόπος για να αποκτήσουμε ένα τέλειο αποτέλεσμα.)
Αλείφουμε το μείγμα του αυγού στα brioche μας και ψήνουμε για 25' σε προθερμασμένο φούρνο στον αέρα στους 180℃.
